Dimensionering i brottgränstillståndet

Dimensionering i brottgränstillståndet innehåller följande steg:

• formulering av dimensioneringskriterier.
• bestämning av lastvärden och lasteffekter.
• bestämning av bärförmågan vid olika brottyper.
• kontroll av att uppställda kriterier uppfylls.

Formulering av dimensioneringskriterier

I säkerhetsnormer föreskrivs vilka kriterier som ska tillämpas i brottgränstillståndet för att säkerställa att brottrisken är acceptabelt liten. För dimensionering enligt partialkoefficientmetoden kräver Eurokod för gränstillståndet brott att
E_d < R_d
där
R_d = dimensionerande bärförmåga
E_d = dimensionerande lasteffekt
Villkoret kontrolleras för olika krafttyper, till exempel böjkraft, skjuvkraft, etcetera.

Bestämning av lastvärden och lasteffekter

I gällande normer anges de laster som ska användas och hur dessa ska kombineras i olika lastkombinationer. Eurokod föreskriver olika lastkombinationer för brottgränstillståndet och tillhörande partialkoefficienter. I praktiken är som regel en eller högst två kombinationer aktuella att kontrollera.

Med hjälp av föreskrivna lastvärden och partialkoefficienter beräknas dimensionerande lastvärden. För träkonstruktioner kan principuttrycket för ett dimensionerande lastvärde F_d för en lastkombination tecknas

F_d = Σ γ_d ξ γ_Gj G_k + γ_d γ_Q Q_k1 (huvudlast) + Σ γ_d γ_Q ψ_0i Q_ki (övriga Q-laster)

där

G_k = karakteristiskt värde för permanent last
Q_k1 = karakteristiskt värde för variabel last (huvudlast)
Q_ki = karakteristiskt värde för variabel last (övriga laster)
γ_d = partialkoefficient för säkerhetsklass (0,83 för SK 1, 0,91 för SK 2, 1,0 för SK 3)
γ_Gj = partialkoefficient för permanent last (1,35 för ogynnsam last och 1,0 för gynnsam last)
γ_Q = partialkoefficient för variabel last (1,5)
ψ_Qi = faktor för kombinationsvärde för variabel last
ξ = reduktionsfaktor vid ogynnsam last (0,89 enligt Boverkets EKS)

Den dimensionerande lasteffekten E_d bestäms med hjälp av de dimensionerande lastvärdena och statikens regler. Formelsamlingar kan här vara till stor hjälp.

Bestämning av bärförmågan för olika brottyper

Dimensioneringsvärdet för en bärförmågeegenskap tecknas enligt Eurokod 5 för en träkonstruktion:

\(X_d= \frac{ k_{mod} \cdot X_k }{\gamma_m}\)

där

k_mod = korrektionsfaktor som tar hänsyn till inverkan av lastvaraktighet och klimatklass
X_k = karakteristiskt värde på en bärförmågeegenskap
γ_m = partialkoefficient för en materialegenskap

 
Den dimensionerande bärförmågan R_d bestäms med hjälp av det dimensionerande värdet på hållfasthet och hållfasthetslärans regler. För träkonstruktioner kan sådana regler hämtas ur litteraturen. På sidan Hållfasthet brottgräns illustreras förfarandet under rubriken Bestämning av dimensionerande värden för hållfasthet i brottgränstillståndet.

Exempel – lastvärden och lasteffekter

Detta exempel illustrerar principerna för bestämning av dimensionerande lastvärden och lasteffekter i brottgränstillståndet. Principerna tillämpas på en pelare i ett bostadshus. Pelaren bär upp last från ett takbjälklag och ett mellanbjälklag i ett bostadshus. Taket är ett pulpettak och lutar 1:16 (4°).  

Förutsättningar

• Egentyngd takbjälklag: g_k = 0,75 kN/m².
• Egentyngd mellanbjälklag: g_k = 0,50 kN/m².
• Snözon 1,5 enligt Eurokod 1, SS-EN 1991-1-3. 
• Nyttig last kategori A, bjälklag enligt Eurokod 1, SS-EN 1991-1-1. 
• Lastkombination: Ekv. 6.10b enligt Eurokod, SS-EN 1990. 
• Belastande area: 15 m². (I detta exempel samma för både takbjälklag och bostadsbjälklag.)
• Säkerhetsklass 2 enligt Boverkets EKS.

Bestämning av lastvärde

Principuttrycket för det dimensionerande lastvärdet F_cd kan tecknas enligt beskrivningen ovan av dimensionering i brottgränstillståndet

F_cd = Σ γ_d 0,89·1,35 G_k + γ_d 1,5 Q_k (huvudlast) + Σ γ_d 1,5 ψ₀ Q_ki (övriga laster)

Lastvärdet q_k för nyttig last på bjälklag i bostäder är 2,0 kN/m². Lastreduktionsfaktorn ψ₀ är 0,7 för rum och utrymmen i bostäder enligt EKS 11 (BFS 2019:1), tabell B-1.
Nyttig last på bjälklag kan reduceras med en reduktionsfaktor α_A, som beror på de areor som bärs upp av den aktuella bärverksdelen, och bestäms som

\(\alpha_A = \frac{5}{7} \cdot + \frac{A_0}{A} \leq {1,0}\) , dvs. α_A blir 1,0

eftersom:
ψ₀ = 0,7 enligt ovan
A₀ = 10,0 m²
A = belastad area

Grundvärdet s_k för snözon 1,5 är 1,5 kN/m². Faktor för kombinationsvärde för variabel last ψ₀ är 0,6. Formfaktorn µ för pulpettaket är 0,8 eftersom taklutningen är mindre än 30°.

Partialkoefficienten för säkerhetsklass 2 är γ_d = 0,91.

Det dimensionerande lastvärdet bestäms för två lastfall:

• I det första fallet sätts den nyttiga lasten som huvudlast och snölasten som övrig variabel last.
• I det andra fallet sätts snölasten som huvudlast och den nyttiga lasten som övrig variabel last.

Fall 1
F_cd = 0,91 · 0,89 · 1,35 (g_k,tak + g_{k,mellanbjälklag}) + 0,91 · 1,5 (q_{k, nyttig last}) + 0,91 · 1,5 ψ₀ μ s_k
Med insatta värden
F_cd = 0,91 · 0,89 · 1,35 (0,75 + 0,5) + 0,91 · 1,5 · 2,0 + 0,91 · 1,5 · 0,7 · 0,8 · 1,5 = 5,24 kN/m²

Fall 2
F_cd = 0,91 · 0,89 · 1,35 (g_{k,tak + gk,mellanbjälklag}) + 0,91 · 1,5 μ s_k + 0,91 · 1,5 ψ₀ (q_{k, nyttig last})
Med insatta värden
F_cd = 0,91 · 0,89 · 1,35 (0,75 + 0,5) + 0,91 · 1,5 · 0,8 · 1,5 + 0,91 · 1,5 · 0,7 · 2,0 = 4,92 kN/m²

Det dimensionerande lastvärdet för pelaren är således 5,24 kN/m².

Bestämning av lasteffekten

Den dimensionerande lasteffekten på pelaren bestäms därefter med hjälp av statikens regler med utgångspunkt från det dimensionerande lastvärdet. Med en belastande area på 15 m² blir den dimensionerande lasteffekten för pelaren

E_cd = 15,0 · 5,24 = 78,6 kN.

Vi förutsätter här att pelaren inte är utsatt för vindlast.

Exempel – dimensionerande värden på hållfasthet

Detta exempel illustrerar principerna för bestämning av dimensionerande värden på hållfasthet. Principerna tillämpas på böjhållfasthet.

Förutsättningar

• Hållfasthetsklass: C30. 
• Klimatklass 1 enligt Eurokod 5, SS-EN 1995-1-1: 1. 
• Lastvaraktighetsklass enligt Eurokod 5, SS-EN 1995-1-1: medellång (M).

Bestämning av dimensionerande värden på hållfasthet

Principformeln för det dimensionerande värdet lyder:
\(\displaystyle X_\text{d}= \frac{ k_\text{mod} \cdot X_\text{k} }{\gamma_\text{m}}\)
Omräkningsfaktorn k_mod är 0,8 eftersom lasten som har kortast varaktighet är medellång, klimatklassen är 1, och materialet är massivt trä.
Grundvärdet för böjhållfasthet för hållfasthetsklassen C30 är f_m,k = 30 MPa.
Värdet för partialkoefficienten γ_m är 1,3 eftersom materialet är massivt trä.

Insättning i principuttrycket ger det dimensionerande värdet på böjhållfasthet.

\(\displaystyle f_\text{d} = \frac{k_\text{mod} \cdot f_\text{k}}{\gamma_\text{m}}=\frac{0,8 \cdot 30}{1,3} = 18,5\) MPa